Oznaczmy naszą sumę przez S = 12+22+32+...+(n-1)2+n2.
Potem zamieniamy zapis w postaci kwadratów na poszczególne sumy a będzie wyglądało to tak:
S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
+ +
+ +
2 + 3 + ... + (n-1) + n
+
+ +
3 + ... + (n-1) + n
+
+
(...) + (...)
+ +
(n-1) + n
+
n
W ten sposób otrzymaliśmy nowe przedstawienie sumy S. Widać że na sumę S składają się rzędy i kolumny. Pierwszy rząd ma „n” wszystkich wyrazów następny „n-1” i tak dalej aż do ostatniego rzędu w którym jest tylko jeden wyraz. W kolumnach jest inaczej, pierwsza kolumna zawiera jeden element, druga dwa, trzecia trzy i tak aż do ostatniej n-tej kolumny która zawiera „n” elementów.
Aby udowodnić wzór na sumę „n” kwadratów liczb naturalnych to potraktujemy każdy napisany rząd jako osobną sumę, wyprowadzimy dla każdego rzędu osobny wzór i wszystkie te wzory na końcu zsumujemy i z tej sumy wyprowadzimy ostateczny wzór.
n(n+1)/2 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
(n-1)n/2 + (n-1) = 2 + 3 + ... + (n-1) + n
(n-2)(n-1)/2 + (n-2)2 = 3 + ... + (n-1) + n
(...)
W przypadku pierwszej sumy otrzymujemy klasyczny wzór na sumę „n” liczb naturalnych a w następnych otrzymujemy też ten sam wzór tylko lekko zmodyfikowany. Zasada według której z mieniają się te wzory widać już w wzorze na drugą sumę. Druga suma różni się tym od sumy pierwszej że ilość elementów w niej jest mniejsza o jeden (zamiast „n” to „n-1”). Ma to swoją konsekwencje w tym że podmieniając w pierwszym wzorze „n-1” za „n” wzór przedstawia się jako (n-1)n/2. Oprócz tej zmiany musimy dodać „n-1” jedynek do tej sumy żeby liczyć liczby naturalne od „2” do „n” zamiast od „1” do „n-1”. Analogicznie postępujemy zresztą wzorów. Ostatecznie zapiszemy tą sumę sum za pomocą notacji sigma tak:
n
Σ (n-k)(n+1-k)/2 + (n-k)k
k=0
Oznacza to że sumujemy „n” wyrażeń z czego w pierwszym k=0 w drugim k=1 potem k=2 i tak dalej aż do „n-1” wyrazu (wliczając 0 to do „n-1” wyrazu mamy ich wszystkich „n”).
Można co prawda ten wzór uprościć co zrobimy to w następnym kroku.
(n-1)
(n-1)
Σ (n-k)(n+1-k)/2 + 2(n-k)k/2 =
Σ [(n-k)(n+1-k) + 2(n-k)k]/2 =
k=0
k=0
(n-1)
(n-1)
Σ [(n-k)(n+1-k) + 2(n-k)k]/2 = Σ (n-k)[n+1-k + 2k]/2 =
k=0 k=0
(n-1)
Σ (n-k)(n+k+1)/2
k=0
Z tak przygotowanego wzoru możemy dalej wyprowadzać docelowy wzór. Rozwijamy notacje sigma i oznaczamy ją przez S tak jak na początku to robiliśmy z pierwszą postacią tej sumy.
S= (n-0)[n+0+1]/2 + (n-1)[n+1+1]/2 + (n-2)[n+2+1]/2 + ... + (n-(k-1))[n+(k-1)+1]/2 + (n-k)[n+k+1]/2
Możemy pomnożyć obustronnie to równanie przez „2” dzięki czemu pozbędziemy się „1/2” sprzed każdego elementu sumy. Dodatkowo porządkujemy równanie.
2S= n(n+1) + (n-1)(n+2) + (n-2)(n+3) + ... + (n-k+1)(n+k) + (n-k)(n+k+1)
Następnie wymnażamy.
2S= n2 + n - 0 + n2 + n - 2 + n2 + n - 6 + ... + n2 + n - k(k-1) + n2 + n – k(k+1)
Warto zauważyć że w tej nowej postaci sumy powtarza się wspólny element jakim jest „n2 - n” jest go „n” co oznacza że możemy zapisać tą podsumę w postaci (n2 – n)n. Inną podsumę czyli resztę liczb zapiszemy w osobnym nawiasie.
2S = (n2 + n)n - [ 0 + 2 + 6 + ... + k(k-1) + k(k+1) ]
Od tego miejsca rozpatrzymy drugą podsumę jako osobną sumę. Oznaczymy ją S’. Pominiemy też zero pamiętając że liczba elementów tej sumy się zmniejszy o jeden czyli z „n” w „n-1”.
S’ = 2 + 6 + ... + k(k-1) + k(k+1)
Żeby znaleźć wzór opisujący sumę S’ użyjemy podobnej strategii co na początku. Wystarczy zauważyć że każdy element sumy S’ można rozbić na sumę liczby naturalnej i jej kwadratu.
S’ = 2 + 6 + ... + k2 - k + k2 + k = 1 + 4 + 9 + … + k2
+ + + +
1 + 2 + 3 + ... + k
Tak o to powstały dwie sumy. W następnym kroku należało by podmienić niewiadomą „k” za „n-1” ponieważ mamy właśnie tyle elementów tej sumy S’.
S’ = 1 + 4 + 9 + … + (n-1)2
+ + + +
1 + 2 + 3 + ... + (n-1)
Sumę 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) możemy zamienić na wzór (n-1)n/2 natomiast suma 1 + 4 + 9 + … + (n-1)2 to nasza oryginalna suma S ale bez „n2”. Żeby naprawić to to musimy dodać „n2” i od razu odjąć ten element i dzięki temu za 1 + 4 + 9 + … + (n-1)2 + n2 będziemy w stanie podstawić S.
S’ = 1 + 4 + 9 + … + (n-1)2 + n2 - n2 + [1 + 2 + 3 + ... + (n-1)] = S - n2 + (n-1)n/2
Teraz gdy podstawimy S’ do oryginalnego wzoru sumy S pozostanie nam uprościć otrzymane wyrażenie i zakończyć dowód.
2S = (n2 + n)n - [ S - n2 + (n-1)n/2 ] = (n2 + n)n - S + n2 – (n-1)n/2 |+S
3S = (n2 + n)n + n2 – (n-1)n/2 |*2
6S = 2(n2 + n)n + 2n2 – (n-1)n = 2n(n+1)n + 2n2 – (n-1)n = n[ 2(n+1)n + 2n – (n-1)] = n[ 2n2 + 2n + 2n – n + 1]
6S = n[ 2n2 + 2n + n + 1] = n[ 2n2 + n + 2n + 1] = n[n(2n + 1) + (2n + 1)] = n[(2n + 1)(n+1)] | /6
S = n(n+1)(2n + 1)/6
C.N.D.
